平面桁架单元刚度矩阵推导

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​ 这里只讲杆单元刚度矩阵的推导，基于前提是已经根据势能最小原理得到了局部坐标系下单元刚度矩阵表达式，即对于弹性杆单元，通用单元刚度矩阵表达式为： $$\bar{\boldsymbol{K}}^e=\int\limits_{V}\boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{DB}\mathrm{d}{V} =A\int\limits_{L}\boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{DB}\mathrm{d}{x}$$

1 基本信息

$x$——沿杆单元方向建立局部坐标，起点为0，端点为杆单元长度$L$

$u$——沿杆单元方向位移

对于其他符号意义可参见于另一文：有限元推导基本符号

参考书籍：辛科维奇《有限元方法》第五版曾攀等译

2 形函数

​ 采用两节点拉格朗日多项式形式的插值函数（关于插值函数可参见于《有限元方法》第五版第八章）： $$u=\frac{x-L}{0-L}u_1+\frac{x-0}{L-0}u_2$$ 即这里采用的这里形函数为： $$\boldsymbol{N}=\begin{bmatrix} N_1&N_2 \end{bmatrix}\\N_1=-\frac{x-L}L\\ N_2=\frac{x}L$$

3 等参单元

​ 由于形状规则，对于上述坐标选取下积分依旧方便计算，故理论上可以不采用单元映射方法（更多可见于可参见于《有限元方法》第五版第九章）。不过这里通用起见，采用等参单元，即另取局部坐标$\xi$，满足： $$x=\frac{\xi-1}{-1-1}0+\frac{\xi-（-1）}{1-（-1）}L=\frac{\xi+1}{2}L$$ 相应形函数为： $$N_1=-\frac{\xi-1}2\\ N_2=\frac{\xi+1}2$$ 雅可比矩阵为： $$\boldsymbol{J}=J=\frac{\xi}{2}L$$

4 局部坐标系下单元刚度矩阵

$$\boldsymbol{D}=D=E\\ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{LN}$$

这里： $$\boldsymbol{L}=L=\frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}}=\frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{\xi}}\frac{\mathrm{d}{\xi}}{\mathrm{d}{x}}=\frac{2}{ L}\frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{\xi}}$$ 则： $$\boldsymbol{B}=\frac{2}{\xi L}\frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{\xi}}\boldsymbol{N} =\frac{2}{\xi L}\begin{bmatrix}{-\frac{\xi}{2}}&\frac{\xi}{2}\end{bmatrix} =\frac{1}{L}\begin{bmatrix}{-1}&1\end{bmatrix}$$ 故： $$\boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{DB}=\frac{1}{L}\begin{bmatrix}{-1}&1\end{bmatrix}^{\text{T}}E\frac{1}{L}\begin{bmatrix}{-1}&1\end{bmatrix} =\frac{E}{L^2}\begin{bmatrix}{1}&-1\\{-1}&1\end{bmatrix}$$ 由于积分容易得到，故不采用高斯积分方法而直接求解定积分： $$\bar{\boldsymbol{K}}^e=A\int_{-1}^{1}\boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{DB}|J|\mathrm{d}{\xi} =\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}{1}&-1\\{-1}&1\end{bmatrix}$$ 如果扩展到y向，则有： $$\bar{\boldsymbol{K}}^e=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}{1}&&-1&\\&&&\\{-1}&&1\\&&&\end{bmatrix}$$

5 整体坐标系下单元刚度矩阵

$$\bar{\boldsymbol{K}}^e\bar{\boldsymbol{a}}^e=\bar{\boldsymbol{F}}^e$$

存在转换矩阵$\boldsymbol{J}$ (这里符号与前述雅可比矩阵相同，但矩阵并不相同)使得：

$$\bar{\boldsymbol{a}}^e=\boldsymbol{J}\boldsymbol{a}^e\\ \bar{\boldsymbol{F}}^e=\boldsymbol{J}\boldsymbol{F}^e$$ 故： $$\bar{\boldsymbol{K}}^e\boldsymbol{J}\boldsymbol{a}^e=\boldsymbol{J}\boldsymbol{F}^e$$ 则： $$\boldsymbol{J}^{-1}\bar{\boldsymbol{K}}^e\boldsymbol{J}\boldsymbol{a}^e=\boldsymbol{F}^e$$ 相应有整体坐标系下单元刚度矩阵为： $$\boldsymbol{K}^e=\boldsymbol{J}^{-1}\bar{\boldsymbol{K}}^e\boldsymbol{J}$$

6 整体刚度矩阵

​ 每一个单元通过节点转换矩阵$\boldsymbol{G}^e$集成入整体刚度矩阵中去，即： $$\boldsymbol{K}=\sum^n\boldsymbol{G}^{-1}\boldsymbol{K}^e\boldsymbol{G}$$ 相应的如果有节点荷载向量为$F$，则得到最终有限元方程为： $$\boldsymbol{K}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$$ 上述杆单元刚度矩阵的推导可以认为是最简单的了。对于实际的复杂单元，上述求解单元刚度矩阵过程中需要进行积分。由于一般情形下无法求出不定积分，故通常采用高斯积分形式。

7 释疑

​ 对于梁单元亦可采用上述方法进行推导，只不过形函数、应变微分算子、物理方程等不相同。

​ 上问推导可能存在的一个困惑是怎么会出现两个局部坐标系。其原因在于本文推导时为讲究方法通用性应用了等参变换，实际上对于本例而言是没有必要的，不进行等参变换依旧能得到相同结果。由于采用了等参变换，第一个局部坐标就相当于第二个局部坐标的整体坐标了。

2020年2月19日 星期三 天气多云转阴