外荷载没有扭矩时是否也会扭

​ 在之前做新型钢结构体系的时候，参考了同济所编的T型钢异形柱，里面涉及到了双力矩问题。这样就有一个疑问，为什么在之前的钢结构标准、混凝土结构标准中没有这个？然后在冷弯薄壁型钢的规范中有这样一条。

​ 如果是开口构件需要考虑，那么这里有个问题。钢结构中的H型钢、工字形钢也是开口的，就无需考虑了？

​

为什么常规的结构不用考虑翘曲正应力；为什么开口截面需要考虑这个翘曲正应力。

理论上应该由弹性力学进行求解，但是如果用材料力学之类的方式，就得考虑一些假定了。

对于薄壁开口构件扭转的几个基本假定：

一是扭转时截面形状保持不变；二是中面没有剪切应变

上述两点转化为数学表达式就是：

（1）对于截面上个点，切向位移为： $$v=r\theta\\ $$ （2）对于中面： $$\gamma=\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial z}=0$$

自由扭转下

写出三类方程：

（1）平衡方程 $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}=-m_t$$ （2）物理方程

​ 理论上需要得到扭矩与广义应变$k$之间的关系

（3）几何方程 $$k=\theta'$$

首先来考虑自由扭转，就是说满足： $$\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ 在这种情形下，截面上剪应变满足一定分布规律（具体可参照材料力学书），与转角变化率$\theta'$满足一定关系。继而得到扭矩和转角变化率的关系满足： $$T=GJ\theta'$$ 这里$GJ$称为扭转刚度。不过这里$J$并非极惯性矩，参考材料力学书，这是一个变化的数据。

相应可以得到以位移形式表达的平衡方程为： $$GJ\theta''=-m_t$$ 需要两个边界条件。

​ 此时进一步求得竖向变形。

基于假定中面上没有剪应变，相应有： $$\gamma=\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial z}=0$$ 保持假定： $$v=r\theta$$ 则： $$\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}s}=-r\theta'$$ 相应得到 $$w=w_0-\int{r}\mathrm{d}s \theta'$$

约束扭转

约束扭转下三类方程：

（1）平衡方程（保持不变） $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}=-m_t$$ 基于叠加原理。如果将变形分为自由扭转和剩下一部分翘曲变形。相应的纵向变形由两部分组成，对于前一部分自由扭转，记纵向位移$w_1$,中面沿切向位移$v$

,相应切应变为： $$\gamma_1=\frac{\partial w_1}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial z}$$ 对于后一部分，记纵向位移为$w_2$,相应切应变为： $$\gamma_2=\frac{\partial w_2}{\partial s}$$ 根据中面切应变为$0$假定，得到： $$\frac{\partial w_1}{\partial s}+\frac{\partial w_2}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial z}=0$$ 推导得到： $$\varepsilon_z=w'=w_1'+w_2'=w_2'=\overline{w}'-\omega_n\theta'$$ 再基于一个认为没有轴力情形下，轴线向无变形$\overline{w}'=0$（这个似乎也可以推导）,则有纵向应变为： $$\varepsilon_z=-\omega_n\theta'$$ （这里可以看到的是，翘曲与自由扭转相互是耦合的）。此正应力完全由翘曲变形产生，相应可得到只有翘曲变形下纵向正应力，并进一步得到切应力及相应产生扭矩的表达式。最后得到： $$T=GJk_1-EI_\omega k_2$$

$$k_1=\theta'\\k_2=\theta'''$$

上述即相应的物理方程和几何方程。

平衡方程转化为由位移形式表达的方程，就是： $$GJ\theta'’-EI_\omega \theta^{IV}=-m_t$$ 可以看到区别在于扭矩的表达式发生了变化。

相应边界条件为：

自由端:两个荷载条件

固定端：$\theta$和$\theta'$均为零。

​ 不存在单独的翘曲扭矩，其出现，一定是与自由扭转力矩伴随的。

​ 基于一定边界条件，上述平衡方程可回归到自由扭转时的方程。

不同截面自由扭转刚度对比

1、按照童根树书中所写，等厚度t，边长h的正方形钢管$J=h^3t$

2、按照材料力学书中长宽比1:1正方形$J=0.141h^4$

3、很大薄壁矩形，其$J=ht^3/3$

4、相应四肢相等十字型开口薄壁矩形截面，其$J=4ht^3/3$

假定$t=h/10$,对比1，2可以发现薄壁闭口和相应正方形间差距并不大，而如果两者面积相同时，薄壁闭口更大；对比1，4可以发现几乎是1000倍差距。

对于轴心受压构件或压弯、拉弯构件，基于边界上荷载分布，如果产生了双力矩，是会同时产生扭转的。而薄壁构件扭转的影响因素可能相对较大。

在冷弯薄壁的规范中：

5.1.2 计算开口截面的轴心受拉构件的强度时，若轴心力不通过截面弯心（或不通过Z形截面的扇性零点），则应考虑双力矩的影响。

注：本条规定也适用于轴心受压、拉弯、压弯构件。

这里其实讲的就是如果有双力矩，就得考虑。但说明里也说了，翘曲应力计算复杂，故对于闭口截面（实心的也算其中一种吧）、双轴对称截面就不考虑了。（但是实际上还是会有扭转的）。

其他启示

那么接下来回答几个问题：

1、外荷载没有扭矩时是否也会扭？

当然会，如果边界上双力矩不为零的话；

2、为什么闭口截面比开口截面要扭转的小的多？

问题在于扭转刚度$GJ$的显著差异。闭口截面要大的多。

开口截面使用时有哪些弊端。扭转变形严重（两方面因素），正应力增大。

3、对于圆形或矩形截面等如果有双力矩是否会产生轴向应力？

对于实心截面，材料力学书里写的是圆形不会，矩形、椭圆等会产生少量。感觉应该还是跟翘曲扭转刚度相关。

尽管没有见到完整的推导，但是如果基于薄壁构件约束扭转下的话，就是平衡方程中翘曲扭矩项基本可以忽略，只有自由扭转项。然后由于自由扭转刚度相对较大，相应扭转也会比开口薄壁要好很多。

上述推导中给的启示：应力可以通过叠加原理，基于不同位移（应变）的叠加得到。

2021年12月23日 星期四 天气晴