新旧坐标转换的问题

新旧坐标系中转换的问题

（1）坐标的转化

​ 假定坐标系X-Y沿原先坐标轴原点顺时针旋转$\theta$，得到新坐标系U-V,则原坐标系中点$(x,y)$在新坐标系中坐标转化为: $$u=rcos(\alpha-\theta)=rcos{\alpha}cos\theta+rsin{\alpha}cos\theta\\ v=rsin(\alpha-\theta)=rsin{\alpha}cos\theta-rcos{\alpha}cos\theta$$ 这里$r$、$\alpha$分别为原坐标系中点$(x,y)$到原点的连线线端长度和于X轴夹角。

代入$x$、$y$得到： $$u=xcos\theta+ysin{\theta}\\ v=-xsin{\theta}+ycos\theta$$ 相应的可以得到采用新坐标系表达的原坐标（即视转角为-$\theta$，可由上式直接得到）: $$x=ucos\theta-vsin{\theta}\\ y=usin{\theta}+vcos\theta$$ 这个在积分运算中将得到应用。

（2）弯矩的转化

记$M_\text{x}$和$M_\text{y}$分别为原坐标系中绕Y轴和X轴弯矩，即有： $$M_\text{x}=\int{fy\text{d}A}\\ M_\text{y}=-\int{fx\text{d}A}$$ 这里$f$为应力，正值为拉压力。

记$M_\text{u}$和$M_\text{v}$分别为新坐标系中绕V轴和U轴弯矩，即有： $$M_\text{u}=\int{fv\text{d}A}\\ M_\text{v}=-\int{fu\text{d}A}$$ 通过坐标代换来计算： $$M_\text{u}=\int{f(-xsin{\theta}+ycos\theta)|\boldsymbol J|\text{d}A}=M_\text{x}cos{\theta}+M_\text{y}sin\theta\\ M_\text{v}=-\int{f(xcos\theta+ysin{\theta})|\boldsymbol J|\text{d}A}=-M_\text{x}sin{\theta}+M_\text{y}cos\theta$$ 这里$|\boldsymbol J|$为雅可比行列式，这里： $$|\boldsymbol J|=cos\theta{cos\theta}+sin\theta{sin\theta}=1$$ 可以看到与坐标的转化是一致的。

（3）坐标的转化——先平移后转动

​ 假定坐标系X-Y沿原先坐标轴平移$(x_0,y_0)$再按原点顺时针旋转$\theta$，得到新坐标系U-V,则原坐标系中点$(x,y)$在新坐标系中坐标转化为: $$u=rcos(\alpha-\theta)=rcos{\alpha}cos\theta+rsin{\alpha}cos\theta\\ v=rsin(\alpha-\theta)=rsin{\alpha}cos\theta+rcos{\alpha}cos\theta$$ 这里$r$、$\alpha$分别为原坐标系中点$(x,y)$到原点的连线线端长度和于X轴夹角。

这里： $$rcos\alpha=x-x_0\\ rsin\alpha=y-y_0$$ 代入得到： $$u=(x-x_0)cos\theta+(y-y_0)sin{\theta}\\ v=-(x-x_0)sin{\theta}+(y-y_0)cos\theta$$ 相应的可以得到采用新坐标系表达的原坐标： $$x=ucos\theta-vsin{\theta}+x_0\\ y=usin{\theta}+vcos\theta+y_0$$ 注意到这里不能采用前面的等效成转角$-\theta$,平移$（-x0,y0)$的方式,因为存在着先后次序的问题。

前者是先平移，后转动；后者是先转动，再平移。

（4）弯矩的转化——先平移后转动

记$M_\text{x}$和$M_\text{y}$分别为原坐标系中绕Y轴和X轴弯矩，即有： $$M_\text{x}=\int{fy\text{d}A}\\ M_\text{y}=-\int{fx\text{d}A}$$ 这里$f$为应力，正值为拉压力。

记$M_\text{u}$和$M_\text{v}$分别为新坐标系中绕V轴和U轴弯矩，即有： $$M_\text{u}=\int{fv\text{d}A}\\ M_\text{v}=-\int{fu\text{d}A}$$ 通过坐标代换来计算： $$M_\text{u}=\int{f(-(x-x_0)sin{\theta}+(y-y_0)cos\theta)|\boldsymbol J|\text{d}A}=(M_\text{x}-Ny_0)cos{\theta}+(M_\text{y}-(-Nx_0))sin\theta\\ M_\text{v}=-\int{f((x-x_0)cos\theta+(y-y_0)sin{\theta})|\boldsymbol J|\text{d}A}=-(M_\text{x}-Ny_0)sin{\theta}+(M_\text{y}-(-Nx_0))cos\theta$$ 这里$N$拉力为正。

这里$|\boldsymbol J|$为雅可比行列式，这里： $$|\boldsymbol J|=cos\theta{cos\theta}+sin\theta{sin\theta}=1$$ 可以看到与坐标的转化是一致的。

更新于2020年6月19日 星期五 天气阴雨