振型分解反应谱应用

在本文中主要讲两个问题：

（1）抗规中振型分解反应谱法的推导；

（2）考虑扭转耦联是怎么回事。

振型分解法中得到了以下公式： $$\boldsymbol{F}=\sum^N_{i=1}\omega_i^2{\boldsymbol{M}}{\boldsymbol{\phi_i}y_i}\quad$$

振型分解反应谱应用

​ 在地震中，上述式（2）可进一步表达为： $$\ddot{y_i}+2\xi_i\omega_i\dot{y_i}+\omega_i^2y_i=\boldsymbol{\phi_i^\text{T}\tilde{M}}a/\bar{m_i}$$ 这里$a$为地震波加速度。 $$\boldsymbol{\tilde M}=\begin{bmatrix}m_1&m_2&\dots&m_n\end{bmatrix}^\text T$$ 可以看到如果标准式： $$\ddot{y_i}+2\xi_i\omega_i\dot{y_i}+\omega_i^2y_i=a$$ 得到的位移响应最大值为$y_{i,max}$，则上述响应最大值应为： $$\frac{\boldsymbol{\phi_i^\text{T}\tilde{M}}}{\bar{m_i}}y_{i,max}$$ 继而该阶等效静力荷载最大值为： $$F_i=\omega_i^2{\boldsymbol{M}}{\boldsymbol{\phi_i}}\frac{\boldsymbol{\phi_i^\text{T}\tilde{M}}}{\bar{m_i}}y_{i,max}$$ 如果质量矩阵是对角矩阵，则第i阶广义位移第j自由度处等效静力荷载为： $$F_{ij}=\omega_i^2m_j{\phi_{ij}}\frac{\sum{\phi_{ij}M_j}}{\sum{\phi_{ij}^2m_j}}y_{i,max}$$ 在振型分解反应谱法中，通常将上式表达成: $$F_{ij}=G_j{\phi_{ij}}\frac{\sum{\phi_{ij}m_j}}{\sum{\phi_{ij}^2m_j}}\frac{y_{i,max}}{\omega_i^2g}=\alpha_i\phi_{ij}\gamma_iG_j$$ 这里$g$为重力加速度。

$\frac{y_{i,max}}{\omega_i^2g}$为一无量纲量，即规范中的水平地震影响系数。可以看到其与地震波加速度时程、结构阻尼比、自振周期相关。而在规范中，其表达为：

建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。

可以看出加速度时程这一项被分散到了烈度、场地类别、设计地震分组三项中去。

组合

​ 在讲振型分解法时指出等效静力荷载为各阶等效静力荷载的线性叠加，但并不是说最大值也是简单的线性叠加，理论上应该是时程叠加后得到极值点。显然，如此对于各振型，最大值基本不会同时出现。

​ 规范中采用的是：

水平地震作用效应(弯矩、剪力、轴向力和变形)，当相邻振型的周期比小于0.85时，可按下式确定： $$S_\text{Ek}=\sqrt{S_i^2}$$

上述即采用了平方和开方法。

扭转耦联

​ 规范中有一个进行耦联计算和不进行耦联计算的，这又是什么回事呢？这里涉及到几个问题：

（1）地震作用方向是单向还是双向

本质上这个并不会产生问题，因为线性结构，荷载效应必然是叠加的。所以无非是最大值选取何种组合形式的问题。如规范中选用的是： $$S_\text{Ek}=\sqrt{S_x^2+(0.85S_y)^2}$$ 或 $$S_\text{Ek}=\sqrt{S_y^2+(0.85S_x)^2}$$ 对于为什么采用平方和开方，而不是简单算术相加。条文说明里讲的比较清楚：

根据强震观测记录的统计分析，二个水平方向地震加速度的最大值不相等，二者之比约为1:0.85；而且两个方向的最大值不一定发生在同一时刻，因此采用平方和开方计算二个方向地震作用效应的组合。

（2）何为耦联

​ 耦联即在刚度矩阵或质量矩阵中非对角线项不为零，从而导致所计算出来的振型向量不是单纯某一方向的。

​ 不过前面的推导对于振型是否耦合并没有规定（不过需要质量矩阵非耦合），所以理论上对于某质点某一阶振型的水平地震作用标准值公式都是可以直接拿来用的。只是在组合时不再采用平方和开方方法，而是考虑了相关系数，即： $$S_\text{Ek}=\sqrt{\sum_i\sum_j{\rho _{ij}S_iS_j}}$$ 另外，对于振型参与系数也根据地震作用方向进行了适当简化。例如我们可以认为每一层都具有三个自由度，对于n层，共计3n个自由度。那么振型向量一般可以改为： $$\boldsymbol{\phi_i}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{X}\\\boldsymbol{Y}\\\boldsymbol{Z}\end{bmatrix}$$ ​ 对于当只有x方向有地震作用时，此时具有地震加速度的质量向量$\boldsymbol{\tilde M}$变为3n×1向量，即： $$\boldsymbol{\tilde M}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\tilde M_1}\\\boldsymbol{\tilde M_2}\\\boldsymbol{\tilde M_3}\end{bmatrix}$$ 其中: $$\boldsymbol{\tilde M_1}=\begin{bmatrix}m_1&m_2&\dots&m_n&\end{bmatrix}^\text T\\ \boldsymbol{\tilde M_2}=\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{\tilde M_3}=\boldsymbol{0}$$ 如此： $$\boldsymbol{\phi_i^\text{T}\tilde{M}}=\boldsymbol{X}^\text{T}\boldsymbol{\tilde M_1}$$ 故振型参与系数为： $$\gamma_{ti}=\sum_{j=1}X_{ij}m_j/\sum_{j=1}(X_{ij}^2+Y_{ij}^2+\varphi_{ij}^2r_j^2)m_j$$ ​ 对于y向亦可如此处理。至于地震作用在斜交方向时，可以直接将加速度往x、y向分解，相应得到振型参与系数表达式。

2020年3月10日 星期二 天气阴